事故後、徐々に痛みが増してきたのですが、交通事故での治療取扱いはできますか？

基本的には取扱いできますが、あまり時間が経過していると事故との関係がハッキリしなくなります。
違和感を感じた時点で、早めに受診することをお勧めします。
様々なケースがありますので、念のため、保険会社にお問い合わせください。